زوج مرتب در ریاضی

زوج مرتب :

تعریف :مجموعه ی دو عضوی که در آن جابه جایی وجود ندارد زوج مرتب گفته می شود و به صورت (b،a) نشان داده می شود و در زوج مرتب جابه جایی وجود ندارد

در زوج مرتب (b،a)a را مولفۀ اول و b را مؤلفۀ دوم می نامیم.

یک کاربرد زوج مرتب استفاده از آن برای نمایش مختصات یک نقطه در صفحه است

نماد (yوx)a را به معنای نقطه ای در صفحه در نظر می گیریم که طول آن برابر x و عرض آن برابر y است.

تساوی دو زوج مرتب : شرط لازم و کافی برای اینکه دو زوج مرتب (b،a)(d،c) با هم برابر باشند این است که (d=b    ،    c=a)

مولفه های اول با هم برابر باشند و مولفه های دوم هم با هم برابر باشند .

مثال : به ازای کدام مقادیر x و y دو زوج مرتب (y-x و 16)  و (2و) برابرند ؟

مثال : مقادیر x وy را چنان بیابید که در نقطه ی   بر هم منطبق باشند ؟

چون دو نقطه با هم منطبق هستند پس باید مولفه های اول و دوم با هم برابر باشند.

حاصلضرب دکارتی :

تعریف : هرگاه A و B دو مجموعه دلخواه باشند حاصلضرب دکارتی .دو مجموعه A وB که آنرا با علامت B×A نشان می دهیم مجموعه همه زوج های مرتبی است که مولفه های اول آغاز از A مولفه های دوم آغاز از B باشد.

تذکر : هرگاه مجموعه a دارای m عضو  و مجموعه b دارای n عضو باشد B×A و A×B دارای m.n عضو هستند.

در حاصلضرب دکارتی جابجایی وجود ندارد

مثلاً : اگر

 دکارتی مجموعه در خودش

مثال :

اگر  و  B×A را مشخص کنید و نمودار مختصاتی B×A را رسم کنید ؟

برای رسم نمودار B×A هر عضو آن را به عنوان مختصات یک نقطه در نظر می گیریم و در صفحه رسم میکنیم .

مثال : اگر  نمودار B×A را در صفحه نمایش دهید ؟   

مثال : اگر  و  B×A را مشخص کنید.

مثال : حاصل ضرب دکارتی هر یک از مجموعه های زیر را دستگاه رسم کنید ؟

َ

قوانین ضرب دکارتی :

تذکر1 : با توجه به تعاریف ارائه شده معلوم می شود .

 : اثبات

تذکر 2 :                                         

تذکر 3 : به طور کلی A×B   B ×  A  است ولی تعداد اعضای B × A با A × B برابر می باشند.

تساوی های و نکات زیر در مورد ضرب دکارتی برقرار می باشند.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 باید بدانیــــــــــم که = .

مثال برای اثبات این قضیه :

- هر گـــاه  خواهیم داشت .

در حالت کلی

7)

مثال برای فهم بیشتر این قضیه :

هر گاه  مقادیر m و n  را چنان بیابید که  

- بنابر قضیه ای که گفته شد پس A=B یعنی  و از آنجا

8)

9)

***************

ضریب دکارتی مجموعه های متناهی :

هر گاه A و B دو مجوعه متناهی باشند داریم :

1)

اصل ضرب

2)

با توجه با نکته (5)

3) 

4)

مثال : هرگاه

مطلوبست تعیین تعـــداد عضوهای  و

- حل :

بنا به قاعده (3)                                

بنا به قاعده (4)                                    

************

رابـــطه

تعریف رابطه: هر زیر مجموعه از حاصل ضرب دکارتی B × A را یک  رابطه از A در B می گوییم که معمولاً آن رل با R نمایش می دهیم .

یا

........ اگر A یک مجموعه باشد هر زیــــر مجموعه از A × A یک رابطه A نامیده می شود.

و اگر  (b و a) باشد آنگاه به صورت aRb نوشته شده و به صورت a رابطه دارد با b خوانده می شود.

مثال ) اگر {c ،  b ، a } = A باشد آنگاه  و  روابطـــی در A هستند

نکته 1) اگر A دارای m عضـــو و B دارای n عضو باشد تعداد روابطـــــی که از A در B تعریف می شود برابر   می باشد پس تعداد کل روابطی که روی مجموعه n عضـــوی A تعریف می شود   برابر میباشد .

یـــــا

.............. اگر مجموعه ی A ، n عضو داشته باشد چون مجــــموعه ی A×A به اندازۀ   عضـــو خواهد داشت بنابراین تعداد زیر مجــــموعه های A × A که همان تعداد رابطـــه های تعریف شده در A خواهــد بود برابر است با

مثال : اگر  و  رابطه R را در مجموعه A به صورت زیر تعریف کنیم تعداد عضوهای رابطه R کدام است ؟

رابطه R ، 8 عضــــو دارد.

ترکیب دو رابطـــه :

اگر R رابطه ای روی مجموعه A باشد ترکیب رابطه  RoR رابطه ای بر A است که به صورت زیر بیان میشود :

a(RoR)c هرگاه عضــوی مانند  وجود داشته باشد که bRC و  aRb مثال : اگر رابطه  بر مجموعه ی  تعریف شده باشد رابطه RoR را بدست می آورید ؟

دامنه و بـــرد روابــــط :

تعریف دامنه : به مجموعه ی مولفه های اول در هر رابطه دامنۀ رابطه گویند .

مجموعه ی مؤلفه های اول

تعریف برد : به مجموعه مولفه های دوم در هر رابطه برد رابطه گویند.

مجموعه ی مؤلفه های دوم

مثال : اگر مجموعه A دارای اعضای  باشد .

و مجموعه  باشد .

الف ) مجموعه ی R را مشخص کنید

ب)  را مشخص کنید.

ج)  را مشخص کنید.

الف =

ب =

ج=

نکته : اگر مجموعه R به صورت زیر باشد :

آنگاه وارون رابطه ی R بصورت زیر می باشد:

مثال رابطه  می باشد وارون R را مشخص کنید .

تابع :

از لحاظ لغوی به معنی پیرو می باشد. یک تابع رابطه ای است که در ان هیچ زوج مرتب متمایزی دارای مولفه های اول مساوی نباشد. یعنی : رابطه f تابع است هر گاه در شرط زیر صدق کند :

مثال : مجموعۀ  تابع است زیرا هیچ دو مؤلفۀ اول زوج های مرتب متمایز آن مساوی نیستند. اما مجموعه  تابع نیست زیرا مؤلفه های اول (2و1) و (4و1) برابر هستند ولی مولفه های دوم آن برابر نیستند . یعنی :

به طور کلی یک رابطه بر حسب x و y را تابع می گوییم اگر به ازای هر مقداری برای x فقط یک مقدار به دست آید .

* از لحاظ زوج های مرتب به زوج مرتبهایی تابع می گویند که هیچ دو مؤلفه اول برابر نداشته باشند.

* از لحاظ نمودار به شکل هایی نمودار تابع می گوییم که هر خط به موازات محور y ها آن شکل را بیش از یک نقطه قطع نکند.

 مثال :

نمایش هندسی یک تابع :

برای نمایش یک تابع از ودو روش پیکانی و قائم ( یا دکارتی) استفاده می کنیم .

در نمایش پیکانی اعضای دامنه و برد در دو شکل بسته ( مثل بیضی) قرار می گیرند . در نمایش پیکانی  اعضاء دامنه ( مؤلفه های اول) به فلش به اعضاء برد ( مؤلفه های دوم) نسبت داده می شوند . ولی در نمایش قائم یا دکارتی هر زوج مرتب تابع را به عنوان یک نقطه در صفحه در نظر می گیریم .

مثال :

 (الف

4 51 2 3DfRfF

رابطه f تابع است زیرا هیچ دو مؤلفه اول مساوی ندارند.

(ب

رابطه g تابع نیست زیرا دو مولفه اول  مساوی هستند .

g

1 2

2 3 5

Rg

Dg

نکته :

با توجه به نمایش پیکانی رابطه ای تابع است که از هیچ عضو دامنۀ آن دو پیکان متمایز خارج نشده باشد . مثلاً در بالا f تابع است ولی g تابع نیست . زیرا از عضو یک  دو پیکان متمایز خارج شده است.

مقدار تابع در یک نکته :

اگر  باشد آنگاه مقدار تابع f در نقطه x برابر  y یا (x)f است و مقدار (x)f=y را تصویر x تحت تابع f می نامیم .

برای یافتن مقدار تابع (x)f=y به ازای a=x کافی است بجای مجهول x در ضابطۀ (x)f=y مقدار a را قرار  دهیم و آن را ساده کنیم .

مثال :

اگر  آنگاه مقدار (0)f و(1-)f برابر است با :

تعریف نشده

نکته :

با توجه به نمودار تابع (x)f=y برای آنکه مقدار تابع (x)f=y را به ازای a=x بدست آوریم کافی است از نقطه a بر روی محور xها خطی به موازات محور  yها  رسم کنیم تا نمودار تابع را قطع کند و سپس از نقطه تلاقی خطی به موازات محور xها رسم کنیم تا محور yها را قطع کند. این نقطه محور y ها را به ازای a=x مشخص میکند.

مثال :

رسم نمودار توابع :

اگر (x)f معلوم باشد برای رسم نمودار  k+(x)f که k عددی مثبت است کافی است نمودار (x)f را k واحد به سمت مثبت محور y ها انتقال دهیم و برای رسم نمودار k-(x)f نمودار (x)f را k واحد را به سمت منفی محور yها انتقال می دهیم.

اگر نمودار (x)f مشخص باشد برای رسم نمودار (k+x)f نمودار f را k واحد به سمت منفی محور x ها انتقال می دهیم و برای رسم نمودار (k-x)f نمودارf را k واحد به سمت مثبت محور yها انتقال می دهیم .

اگر نمودار (x)f مشخص باشد برای رسم نمودار (x)f-=y قرینه نمودار f را نسبت به محور xها رسم می کنیم .

اگر نمودار f مشخص باشد برای رسم نمودار (x-)f=y قرینه نمودار نسبت به محور y ها رسم می کنیم .

اگر نمودار (x)f مشخص باشد برای رسم نمودار (x)f k در صورتی که k عدد مثبتی باشد مثل نمودار (x)f می باشد با این تفاوت که اگر k عددی بزرگتر از یک باشد شکل به محور y ها نزدیک می شود و اگر k عددی بین صفر و یک باشد از محور y ها دور می شود.

اگر نمودار (x)f مشخص باشد برای رسم نمودار  آن قسمت از نمودار که بالای محور x ها است ثابت نگه می داریم و آن قسمت که پایین محور است نسبت به محور x ها نزدیک می کنیم .